Résoudre 9p^2-30p+16

$$9 p ^ { 2 } - 30 p + 16$$

Factoriser

$$\left(3p-8\right)\left(3p-2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 9p^{2}+ap+bp+16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-30 ab=9\times 16=144$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

La solution est la paire qui donne la somme -30.

$$a=-24 b=-6$$

Réécrire 9p^{2}-30p+16 en tant qu’\left(9p^{2}-24p\right)+\left(-6p+16\right).

$$\left(9p^{2}-24p\right)+\left(-6p+16\right)$$

Factorisez 3p du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$3p\left(3p-8\right)-2\left(3p-8\right)$$

Factoriser le facteur commun 3p-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(3p-8\right)\left(3p-2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9p^{2}-30p+16=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$p=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -30.

$$p=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$p=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 16.

$$p=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-576}}{2\times 9}$$

Additionner 900 et -576.

$$p=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 324.

$$p=\frac{-\left(-30\right)±18}{2\times 9}$$

L’inverse de -30 est 30.

$$p=\frac{30±18}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$p=\frac{30±18}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{30±18}{18} lorsque ± est positif. Additionner 30 et 18.

$$p=\frac{48}{18}$$

Réduire la fraction \frac{48}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$p=\frac{8}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{30±18}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 18 à 30.

$$p=\frac{12}{18}$$

Réduire la fraction \frac{12}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$p=\frac{2}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{8}{3} par x_{1} et \frac{2}{3} par x_{2}.

$$9p^{2}-30p+16=9\left(p-\frac{8}{3}\right)\left(p-\frac{2}{3}\right)$$

Soustraire \frac{8}{3} de p en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9p^{2}-30p+16=9\times \frac{3p-8}{3}\left(p-\frac{2}{3}\right)$$

Soustraire \frac{2}{3} de p en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9p^{2}-30p+16=9\times \frac{3p-8}{3}\times \frac{3p-2}{3}$$

Multiplier \frac{3p-8}{3} par \frac{3p-2}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9p^{2}-30p+16=9\times \frac{\left(3p-8\right)\left(3p-2\right)}{3\times 3}$$

Multiplier 3 par 3.

$$9p^{2}-30p+16=9\times \frac{\left(3p-8\right)\left(3p-2\right)}{9}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 9 dans 9 et 9.

$$9p^{2}-30p+16=\left(3p-8\right)\left(3p-2\right)$$

Évaluer

$$\left(3p-8\right)\left(3p-2\right)$$