Résoudre 9p^2+59p+30

$$9 p ^ { 2 } + 59 p + 30$$

Factoriser

$$\left(p+6\right)\left(9p+5\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 9p^{2}+ap+bp+30. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=59 ab=9\times 30=270$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 270.

$$1,270 2,135 3,90 5,54 6,45 9,30 10,27 15,18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+270=271 2+135=137 3+90=93 5+54=59 6+45=51 9+30=39 10+27=37 15+18=33$$

La solution est la paire qui donne la somme 59.

$$a=5 b=54$$

Réécrire 9p^{2}+59p+30 en tant qu’\left(9p^{2}+5p\right)+\left(54p+30\right).

$$\left(9p^{2}+5p\right)+\left(54p+30\right)$$

Factorisez p du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$p\left(9p+5\right)+6\left(9p+5\right)$$

Factoriser le facteur commun 9p+5 en utilisant la distributivité.

$$\left(9p+5\right)\left(p+6\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9p^{2}+59p+30=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$p=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 9\times 30}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 59.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 9\times 30}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-36\times 30}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 30.

$$p=\frac{-59±\sqrt{3481-1080}}{2\times 9}$$

Additionner 3481 et -1080.

$$p=\frac{-59±\sqrt{2401}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 2401.

$$p=\frac{-59±49}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$p=\frac{-59±49}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-59±49}{18} lorsque ± est positif. Additionner -59 et 49.

$$p=-\frac{10}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$p=-\frac{5}{9}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-59±49}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 49 à -59.

$$p=-\frac{108}{18}$$

Diviser -108 par 18.

$$p=-6$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{5}{9} par x_{1} et -6 par x_{2}.

$$9p^{2}+59p+30=9\left(p-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(p-\left(-6\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$9p^{2}+59p+30=9\left(p+\frac{5}{9}\right)\left(p+6\right)$$

Additionner \frac{5}{9} et p en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9p^{2}+59p+30=9\times \frac{9p+5}{9}\left(p+6\right)$$

Annulez le facteur commun le plus grand 9 dans 9 et 9.

$$9p^{2}+59p+30=\left(9p+5\right)\left(p+6\right)$$

Évaluer

$$\left(p+6\right)\left(9p+5\right)$$