Résoudre 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Calculer n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 3n^{2} des deux côtés.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combiner 9n^{2} et -3n^{2} pour obtenir 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6n^{2}+an+bn+20. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -23.

$$a=-15 b=-8$$

Réécrire 6n^{2}-23n+20 en tant qu’\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Factorisez 3n du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2n-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2n-5=0 et 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Soustraire 3n^{2} des deux côtés.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combiner 9n^{2} et -3n^{2} pour obtenir 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -23 à b et 20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Additionner 529 et -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

L’inverse de -23 est 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{23±7}{12} lorsque ± est positif. Additionner 23 et 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Réduire la fraction \frac{30}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{23±7}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Réduire la fraction \frac{16}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Soustraire 3n^{2} des deux côtés.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combiner 9n^{2} et -3n^{2} pour obtenir 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Soustraire 20 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Divisez -\frac{23}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{23}{12}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{23}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{23}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Additionner -\frac{10}{3} et \frac{529}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifier.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Ajouter \frac{23}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$