Résoudre 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Calculer a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0,555555556+0,368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0,555555556-0,368513866i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -10 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -10.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Additionner 100 et -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de -44.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

L’inverse de -10 est 10.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} lorsque ± est positif. Additionner 10 et 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Diviser 10+2i\sqrt{11} par 18.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{11} à 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Diviser 10-2i\sqrt{11} par 18.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

L’équation est désormais résolue.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Divisez -\frac{10}{9}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{9}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{9} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{9} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Additionner -\frac{4}{9} et \frac{25}{81} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Factor a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Simplifier.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Ajouter \frac{5}{9} aux deux côtés de l’équation.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$