Résoudre 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Calculer a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9a^{2}+aa+ba+16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

La solution est la paire qui donne la somme 24.

$$a=12 b=12$$

Réécrire 9a^{2}+24a+16 en tant qu’\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Factorisez 3a du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3a+4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, 24 à b et 16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 24.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Additionner 576 et -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Réduire la fraction \frac{24}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Divisez \frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Additionner -\frac{16}{9} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Factor a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Soustraire \frac{4}{3} des deux côtés de l’équation.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$a=-\frac{4}{3}$$