Résoudre 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Calculer x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9x^{2}+ax+bx+25. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

La solution est la paire qui donne la somme -30.

$$a=-15 b=-15$$

Réécrire 9x^{2}-30x+25 en tant qu’\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Factorisez 3x du premier et -5 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -30 à b et 25 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Additionner 900 et -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

L’inverse de -30 est 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Réduire la fraction \frac{30}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Soustraire 25 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

La soustraction de 25 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divisez -\frac{10}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Additionner -\frac{25}{9} et \frac{25}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Factor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Ajouter \frac{5}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=\frac{5}{3}$$