Résoudre 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0,666666667+0,816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0,666666667-0,816496581i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -12 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

Additionner 144 et -360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de -216.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} lorsque ± est positif. Additionner 12 et 6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

Diviser 12+6i\sqrt{6} par 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 6i\sqrt{6} à 12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

Diviser 12-6i\sqrt{6} par 18.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

La soustraction de 10 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}-12x=-10$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

Additionner -\frac{10}{9} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$