Résoudre 9x^2+6x-9<0

$$9 { x }^{ 2 } +6x-9 < 0$$

Calculer x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}+6x-9=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 9 pour a, 6 pour b et -9 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-9\right)}}{2\times 9}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{10}}{18}$$

Résoudre l’équation x=\frac{-6±6\sqrt{10}}{18} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$9\left(x-\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\frac{\sqrt{10}-1}{3} et x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3} doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{10}-1}{3} est positif et x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3} négatif.

$$x-\frac{\sqrt{10}-1}{3}>0 x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3}<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3} est positif et x-\frac{\sqrt{10}-1}{3} négatif.

$$x-\frac{-\sqrt{10}-1}{3}>0 x-\frac{\sqrt{10}-1}{3}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{10}-1}{3},\frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)$$