Résoudre 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 84 à a, 4\sqrt{3} à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Calculer le carré de 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplier -4 par 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplier -336 par 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Additionner 48 et -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Extraire la racine carrée de -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Multiplier 2 par 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} lorsque ± est positif. Additionner -4\sqrt{3} et 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Diviser -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} par 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} lorsque ± est négatif. Soustraire 8i\sqrt{15} à -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Diviser -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} par 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Divisez les deux côtés par 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

La division par 84 annule la multiplication par 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Diviser 4\sqrt{3} par 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Réduire la fraction \frac{-3}{84} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Divisez \frac{\sqrt{3}}{21}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{\sqrt{3}}{42}. Ajouter ensuite le carré de \frac{\sqrt{3}}{42} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Additionner -\frac{1}{28} et \frac{1}{588} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Factor x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Soustraire \frac{\sqrt{3}}{42} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$