Résoudre 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Factoriser

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 81x^{2}+ax+bx+100. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

La solution est la paire qui donne la somme 180.

$$a=90 b=90$$

Réécrire 81x^{2}+180x+100 en tant qu’\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Factorisez 9x du premier et 10 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Factoriser le facteur commun 9x+10 en utilisant la distributivité.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Calculer le carré de 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplier -4 par 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Multiplier -324 par 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Additionner 32400 et -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Multiplier 2 par 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{10}{9} par x_{1} et -\frac{10}{9} par x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Additionner \frac{10}{9} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Additionner \frac{10}{9} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Multiplier \frac{9x+10}{9} par \frac{9x+10}{9} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Multiplier 9 par 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 81 dans 81 et 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Évaluer

$$\left(9x+10\right)^{2}$$