Résoudre 81n^2+18n+1

$$81 n ^ { 2 } + 18 n + 1$$

Factoriser

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 81n^{2}+an+bn+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=18 ab=81\times 1=81$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 81.

$$1,81 3,27 9,9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+81=82 3+27=30 9+9=18$$

La solution est la paire qui donne la somme 18.

$$a=9 b=9$$

Réécrire 81n^{2}+18n+1 en tant qu’\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right).

$$\left(81n^{2}+9n\right)+\left(9n+1\right)$$

Factoriser 9n dans 81n^{2}+9n.

$$9n\left(9n+1\right)+9n+1$$

Factoriser le facteur commun 9n+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(81n^{2}+18n+1)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(81,18,1)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 81n^{2}.

$$\sqrt{81n^{2}}=9n$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(9n+1\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$81n^{2}+18n+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Calculer le carré de 18.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Multiplier -4 par 81.

$$n=\frac{-18±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Additionner 324 et -324.

$$n=\frac{-18±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$n=\frac{-18±0}{2\times 81}$$

Multiplier 2 par 81.

$$n=\frac{-18±0}{162}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{1}{9} par x_{1} et -\frac{1}{9} par x_{2}.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{9}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$81n^{2}+18n+1=81\left(n+\frac{1}{9}\right)\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Additionner \frac{1}{9} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\left(n+\frac{1}{9}\right)$$

Additionner \frac{1}{9} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{9n+1}{9}\times \frac{9n+1}{9}$$

Multiplier \frac{9n+1}{9} par \frac{9n+1}{9} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{9\times 9}$$

Multiplier 9 par 9.

$$81n^{2}+18n+1=81\times \frac{\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)}{81}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 81 dans 81 et 81.

$$81n^{2}+18n+1=\left(9n+1\right)\left(9n+1\right)$$

Évaluer

$$\left(9n+1\right)^{2}$$