Résoudre 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Factoriser

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 81x^{2}+ax+bx+25. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

La solution est la paire qui donne la somme 90.

$$a=45 b=45$$

Réécrire 81x^{2}+90x+25 en tant qu’\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Factorisez 9x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Factoriser le facteur commun 9x+5 en utilisant la distributivité.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Calculer le carré de 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplier -4 par 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplier -324 par 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Additionner 8100 et -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Multiplier 2 par 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{5}{9} par x_{1} et -\frac{5}{9} par x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Additionner \frac{5}{9} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Additionner \frac{5}{9} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Multiplier \frac{9x+5}{9} par \frac{9x+5}{9} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Multiplier 9 par 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Annuler 81, le plus grand facteur commun dans 81 et 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Évaluer

$$\left(9x+5\right)^{2}$$