Résoudre 80x^2+23x-15

$$80 { x }^{ 2 } +23x-15$$

Factoriser

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 80x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=23 ab=80\left(-15\right)=-1200$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -1200.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

La solution est la paire qui donne la somme 23.

$$a=-25 b=48$$

Réécrire 80x^{2}+23x-15 en tant qu’\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right).

$$\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right)$$

Factorisez 5x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(16x-5\right)+3\left(16x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 16x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$80x^{2}+23x-15=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Calculer le carré de 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Multiplier -4 par 80.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-320\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Multiplier -320 par -15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+4800}}{2\times 80}$$

Additionner 529 et 4800.

$$x=\frac{-23±\sqrt{5329}}{2\times 80}$$

Extraire la racine carrée de 5329.

$$x=\frac{-23±73}{2\times 80}$$

Multiplier 2 par 80.

$$x=\frac{-23±73}{160}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±73}{160} lorsque ± est positif. Additionner -23 et 73.

$$x=\frac{50}{160}$$

Réduire la fraction \frac{50}{160} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{5}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-23±73}{160} lorsque ± est négatif. Soustraire 73 à -23.

$$x=-\frac{96}{160}$$

Réduire la fraction \frac{-96}{160} au maximum en extrayant et en annulant 32.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{5}{16} par x_{1} et -\frac{3}{5} par x_{2}.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Soustraire \frac{5}{16} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Additionner \frac{3}{5} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\times \frac{5x+3}{5}$$

Multiplier \frac{16x-5}{16} par \frac{5x+3}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{16\times 5}$$

Multiplier 16 par 5.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{80}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 80 dans 80 et 80.

$$80x^{2}+23x-15=\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Évaluer

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$