Résoudre 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 8 à a, -8 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Additionner 64 et 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Diviser 8+4\sqrt{6} par 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{6} à 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Diviser 8-4\sqrt{6} par 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Divisez les deux côtés par 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

La division par 8 annule la multiplication par 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Diviser -8 par 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Additionner \frac{1}{8} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$