Résoudre 8x^2-22x+15

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Factoriser

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 8x^{2}+ax+bx+15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -22.

$$a=-12 b=-10$$

Réécrire 8x^{2}-22x+15 en tant qu’\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Factorisez 4x du premier et -5 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Additionner 484 et -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

L’inverse de -22 est 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{22±2}{16} lorsque ± est positif. Additionner 22 et 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Réduire la fraction \frac{24}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{22±2}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Réduire la fraction \frac{20}{16} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{2} par x_{1} et \frac{5}{4} par x_{2}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Soustraire \frac{3}{2} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Soustraire \frac{5}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Multiplier \frac{2x-3}{2} par \frac{4x-5}{4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 8 dans 8 et 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Évaluer

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$