Résoudre 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 8x^{2}+ax+bx-7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 10.

$$a=-4 b=14$$

Réécrire 8x^{2}+10x-7 en tant qu’\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Factorisez 4x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-1=0 et 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 8 à a, 10 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Additionner 100 et 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±18}{16} lorsque ± est positif. Additionner -10 et 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Réduire la fraction \frac{8}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±18}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 18 à -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Réduire la fraction \frac{-28}{16} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Ajouter 7 aux deux côtés de l’équation.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

La soustraction de -7 de lui-même donne 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Soustraire -7 à 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Divisez les deux côtés par 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

La division par 8 annule la multiplication par 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Réduire la fraction \frac{10}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

DiVisez \frac{5}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{5}{8}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{8} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Additionner \frac{7}{8} et \frac{25}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Factoriser x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Soustraire \frac{5}{8} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$