Résoudre 8d^2-22d+9

$$8 d ^ { 2 } - 22 d + 9$$

Factoriser

$$\left(2d-1\right)\left(4d-9\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 8d^{2}+ad+bd+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=8\times 9=72$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

La solution est la paire qui donne la somme -22.

$$a=-18 b=-4$$

Réécrire 8d^{2}-22d+9 en tant qu’\left(8d^{2}-18d\right)+\left(-4d+9\right).

$$\left(8d^{2}-18d\right)+\left(-4d+9\right)$$

Factorisez 2d du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$2d\left(4d-9\right)-\left(4d-9\right)$$

Factoriser le facteur commun 4d-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(4d-9\right)\left(2d-1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$8d^{2}-22d+9=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$d=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 9}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de -22.

$$d=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 9}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$d=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 9}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par 9.

$$d=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-288}}{2\times 8}$$

Additionner 484 et -288.

$$d=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$d=\frac{-\left(-22\right)±14}{2\times 8}$$

L’inverse de -22 est 22.

$$d=\frac{22±14}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$d=\frac{22±14}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation d=\frac{22±14}{16} lorsque ± est positif. Additionner 22 et 14.

$$d=\frac{36}{16}$$

Réduire la fraction \frac{36}{16} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$d=\frac{9}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation d=\frac{22±14}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à 22.

$$d=\frac{8}{16}$$

Réduire la fraction \frac{8}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$d=\frac{1}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{9}{4} par x_{1} et \frac{1}{2} par x_{2}.

$$8d^{2}-22d+9=8\left(d-\frac{9}{4}\right)\left(d-\frac{1}{2}\right)$$

Soustraire \frac{9}{4} de d en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8d^{2}-22d+9=8\times \frac{4d-9}{4}\left(d-\frac{1}{2}\right)$$

Soustraire \frac{1}{2} de d en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8d^{2}-22d+9=8\times \frac{4d-9}{4}\times \frac{2d-1}{2}$$

Multiplier \frac{4d-9}{4} par \frac{2d-1}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8d^{2}-22d+9=8\times \frac{\left(4d-9\right)\left(2d-1\right)}{4\times 2}$$

Multiplier 4 par 2.

$$8d^{2}-22d+9=8\times \frac{\left(4d-9\right)\left(2d-1\right)}{8}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 8 dans 8 et 8.

$$8d^{2}-22d+9=\left(4d-9\right)\left(2d-1\right)$$

Évaluer

$$\left(2d-1\right)\left(4d-9\right)$$