Résoudre 8x^2-42x+27=0

$$8 { x }^{ 2 } -42x+27 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 8x^{2}+ax+bx+27. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-42 ab=8\times 27=216$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

La solution est la paire qui donne la somme -42.

$$a=-36 b=-6$$

Réécrire 8x^{2}-42x+27 en tant qu’\left(8x^{2}-36x\right)+\left(-6x+27\right).

$$\left(8x^{2}-36x\right)+\left(-6x+27\right)$$

Factorisez 4x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(2x-9\right)-3\left(2x-9\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-9\right)\left(4x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-9=0 et 4x-3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$8x^{2}-42x+27=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 8 à a, -42 à b et 27 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 8\times 27}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 8\times 27}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-32\times 27}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par 27.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2\times 8}$$

Additionner 1764 et -864.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 900.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±30}{2\times 8}$$

L’inverse de -42 est 42.

$$x=\frac{42±30}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$x=\frac{42±30}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{42±30}{16} lorsque ± est positif. Additionner 42 et 30.

$$x=\frac{72}{16}$$

Réduire la fraction \frac{72}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{9}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{42±30}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 30 à 42.

$$x=\frac{12}{16}$$

Réduire la fraction \frac{12}{16} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-42x+27=0$$

Soustraire 27 des deux côtés de l’équation.

$$8x^{2}-42x+27-27=-27$$

La soustraction de 27 de lui-même donne 0.

$$8x^{2}-42x=-27$$

Divisez les deux côtés par 8.

$$\frac{8x^{2}-42x}{8}=-\frac{27}{8}$$

La division par 8 annule la multiplication par 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{8}\right)x=-\frac{27}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-42}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x=-\frac{27}{8}$$

Divisez -\frac{21}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{21}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{21}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\left(-\frac{21}{8}\right)^{2}=-\frac{27}{8}+\left(-\frac{21}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{21}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=-\frac{27}{8}+\frac{441}{64}$$

Additionner -\frac{27}{8} et \frac{441}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{225}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{21}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{21}{8}=-\frac{15}{8}$$

Ajouter \frac{21}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{3}{4}$$