Résoudre 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Factoriser

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 8x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -14.

$$a=-20 b=6$$

Réécrire 8x^{2}-14x-15 en tant qu’\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factorisez 4x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Additionner 196 et 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±26}{16} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Réduire la fraction \frac{40}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±26}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 26 à 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{16} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{5}{2} par x_{1} et -\frac{3}{4} par x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Soustraire \frac{5}{2} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Additionner \frac{3}{4} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Multiplier \frac{2x-5}{2} par \frac{4x+3}{4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 8 dans 8 et 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Évaluer

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$