Résoudre 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Factoriser

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 77r^{2}+ar+br-18. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 45.

$$a=-21 b=66$$

Réécrire 77r^{2}+45r-18 en tant qu’\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Factorisez 7r du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 11r-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Calculer le carré de 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplier -4 par 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplier -308 par -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Additionner 2025 et 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Extraire la racine carrée de 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Multiplier 2 par 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{-45±87}{154} lorsque ± est positif. Additionner -45 et 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Réduire la fraction \frac{42}{154} au maximum en extrayant et en annulant 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{-45±87}{154} lorsque ± est négatif. Soustraire 87 à -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Réduire la fraction \frac{-132}{154} au maximum en extrayant et en annulant 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{11} par x_{1} et -\frac{6}{7} par x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Soustraire \frac{3}{11} de r en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Additionner \frac{6}{7} et r en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Multiplier \frac{11r-3}{11} par \frac{7r+6}{7} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Multiplier 11 par 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 77 dans 77 et 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Évaluer

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$