Résoudre 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 15x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-3 b=10$$

Réécrire 15x^{2}+7x-2 en tant qu’\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Factorisez 3x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-1=0 et 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 75 à a, 35 à b et -10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Calculer le carré de 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplier -4 par 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplier -300 par -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Additionner 1225 et 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Extraire la racine carrée de 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplier 2 par 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-35±65}{150} lorsque ± est positif. Additionner -35 et 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Réduire la fraction \frac{30}{150} au maximum en extrayant et en annulant 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-35±65}{150} lorsque ± est négatif. Soustraire 65 à -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Réduire la fraction \frac{-100}{150} au maximum en extrayant et en annulant 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Ajouter 10 aux deux côtés de l’équation.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

La soustraction de -10 de lui-même donne 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Soustraire -10 à 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Divisez les deux côtés par 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

La division par 75 annule la multiplication par 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Réduire la fraction \frac{35}{75} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Réduire la fraction \frac{10}{75} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Divisez \frac{7}{15}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{30}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{30} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{30} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Additionner \frac{2}{15} et \frac{49}{900} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Soustraire \frac{7}{30} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$