Résoudre 72y^2-176y+64

$$72 y ^ { 2 } - 176 y + 64$$

Factoriser

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Étapes de la solution

Exclure 8.

$$8\left(9y^{2}-22y+8\right)$$

Considérer 9y^{2}-22y+8. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 9y^{2}+ay+by+8. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-22 ab=9\times 8=72$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

La solution est la paire qui donne la somme -22.

$$a=-18 b=-4$$

Réécrire 9y^{2}-22y+8 en tant qu’\left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Factorisez 9y du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$9y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Factoriser le facteur commun y-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$72y^{2}-176y+64=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Calculer le carré de -176.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Multiplier -4 par 72.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-288\times 64}}{2\times 72}$$

Multiplier -288 par 64.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-18432}}{2\times 72}$$

Additionner 30976 et -18432.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{12544}}{2\times 72}$$

Extraire la racine carrée de 12544.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±112}{2\times 72}$$

L’inverse de -176 est 176.

$$y=\frac{176±112}{2\times 72}$$

Multiplier 2 par 72.

$$y=\frac{176±112}{144}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{176±112}{144} lorsque ± est positif. Additionner 176 et 112.

$$y=\frac{288}{144}$$

Diviser 288 par 144.

$$y=2$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{176±112}{144} lorsque ± est négatif. Soustraire 112 à 176.

$$y=\frac{64}{144}$$

Réduire la fraction \frac{64}{144} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$y=\frac{4}{9}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 2 par x_{1} et \frac{4}{9} par x_{2}.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\left(y-\frac{4}{9}\right)$$

Soustraire \frac{4}{9} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\times \frac{9y-4}{9}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 9 dans 72 et 9.

$$72y^{2}-176y+64=8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Évaluer

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$