Résoudre 7x^2-4x-11=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x - 11 = 0$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1,571428571$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 7x^{2}+ax+bx-11. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=7\left(-11\right)=-77$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -77.

$$1,-77 7,-11$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-77=-76 7-11=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -4.

$$a=-11 b=7$$

Réécrire 7x^{2}-4x-11 en tant qu’\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right).

$$\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right)$$

Factoriser x dans 7x^{2}-11x.

$$x\left(7x-11\right)+7x-11$$

Factoriser le facteur commun 7x-11 en utilisant la distributivité.

$$\left(7x-11\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 7x-11=0 et x+1=0.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 7 à a, -4 à b et -11 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par -11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+308}}{2\times 7}$$

Additionner 16 et 308.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 324.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±18}{2\times 7}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±18}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$x=\frac{4±18}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±18}{14} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 18.

$$x=\frac{22}{14}$$

Réduire la fraction \frac{22}{14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{11}{7}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±18}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 18 à 4.

$$x=-\frac{14}{14}$$

Diviser -14 par 14.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Ajouter 11 aux deux côtés de l’équation.

$$7x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

La soustraction de -11 de lui-même donne 0.

$$7x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

Soustraire -11 à 0.

$$7x^{2}-4x=11$$

Divisez les deux côtés par 7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=\frac{11}{7}$$

La division par 7 annule la multiplication par 7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{11}{7}$$

Divisez -\frac{4}{7}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{7}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{7} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{7} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{11}{7}+\frac{4}{49}$$

Additionner \frac{11}{7} et \frac{4}{49} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{81}{49}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{9}{7}$$

Ajouter \frac{2}{7} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$