Résoudre 7x^2-31x-20=0

$$7 x ^ { 2 } - 31 x - 20 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{4}{7}\approx -0,571428571$$

$$x=5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 7x^{2}+ax+bx-20. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-31 ab=7\left(-20\right)=-140$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -140.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -31.

$$a=-35 b=4$$

Réécrire 7x^{2}-31x-20 en tant qu’\left(7x^{2}-35x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(4x-20\right)$$

Factorisez 7x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$7x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-5\right)\left(7x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-5=0 et 7x+4=0.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$7x^{2}-31x-20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 7 à a, -31 à b et -20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-28\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par -20.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+560}}{2\times 7}$$

Additionner 961 et 560.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1521}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 1521.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±39}{2\times 7}$$

L’inverse de -31 est 31.

$$x=\frac{31±39}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$x=\frac{31±39}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{31±39}{14} lorsque ± est positif. Additionner 31 et 39.

$$x=\frac{70}{14}$$

Diviser 70 par 14.

$$x=5$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{31±39}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 39 à 31.

$$x=-\frac{8}{14}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{4}{7}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-31x-20=0$$

Ajouter 20 aux deux côtés de l’équation.

$$7x^{2}-31x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

La soustraction de -20 de lui-même donne 0.

$$7x^{2}-31x=-\left(-20\right)$$

Soustraire -20 à 0.

$$7x^{2}-31x=20$$

Divisez les deux côtés par 7.

$$\frac{7x^{2}-31x}{7}=\frac{20}{7}$$

La division par 7 annule la multiplication par 7.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x=\frac{20}{7}$$

Divisez -\frac{31}{7}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{31}{14}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{31}{14} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\left(-\frac{31}{14}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(-\frac{31}{14}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{31}{14} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}=\frac{20}{7}+\frac{961}{196}$$

Additionner \frac{20}{7} et \frac{961}{196} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}=\frac{1521}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{14}\right)^{2}=\frac{1521}{196}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{196}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{31}{14}=\frac{39}{14} x-\frac{31}{14}=-\frac{39}{14}$$

Ajouter \frac{31}{14} aux deux côtés de l’équation.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$