Résoudre 7x^2-74x-120

$$7 { x }^{ 2 } -74x-120$$

Factoriser

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 7x^{2}+ax+bx-120. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-74 ab=7\left(-120\right)=-840$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -840.

$$1,-840 2,-420 3,-280 4,-210 5,-168 6,-140 7,-120 8,-105 10,-84 12,-70 14,-60 15,-56 20,-42 21,-40 24,-35 28,-30$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-840=-839 2-420=-418 3-280=-277 4-210=-206 5-168=-163 6-140=-134 7-120=-113 8-105=-97 10-84=-74 12-70=-58 14-60=-46 15-56=-41 20-42=-22 21-40=-19 24-35=-11 28-30=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -74.

$$a=-84 b=10$$

Réécrire 7x^{2}-74x-120 en tant qu’\left(7x^{2}-84x\right)+\left(10x-120\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(10x-120\right)$$

Factorisez 7x du premier et 10 dans le deuxième groupe.

$$7x\left(x-12\right)+10\left(x-12\right)$$

Factoriser le facteur commun x-12 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$7x^{2}-74x-120=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 7\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de -74.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 7\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-28\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par -120.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+3360}}{2\times 7}$$

Additionner 5476 et 3360.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{8836}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 8836.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±94}{2\times 7}$$

L’inverse de -74 est 74.

$$x=\frac{74±94}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$x=\frac{74±94}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{74±94}{14} lorsque ± est positif. Additionner 74 et 94.

$$x=\frac{168}{14}$$

Diviser 168 par 14.

$$x=12$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{74±94}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 94 à 74.

$$x=-\frac{20}{14}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{10}{7}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 12 par x_{1} et -\frac{10}{7} par x_{2}.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\left(x-\left(-\frac{10}{7}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\left(x+\frac{10}{7}\right)$$

Additionner \frac{10}{7} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\times \frac{7x+10}{7}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 7 dans 7 et 7.

$$7x^{2}-74x-120=\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Évaluer

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$