Résoudre 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Calculer n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$5n+4n^{2}=636$$

Soustraire 636 des deux côtés.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4n^{2}+an+bn-636. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=-48 b=53$$

Réécrire 4n^{2}+5n-636 en tant qu’\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Factorisez 4n du premier et 53 dans le deuxième groupe.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Factoriser le facteur commun n-12 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-12=0 et 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$5n+4n^{2}=636$$

Soustraire 636 des deux côtés.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 5 à b et -636 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Additionner 25 et 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-5±101}{8} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Diviser 96 par 8.

$$n=12$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-5±101}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 101 à -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-106}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$5n+4n^{2}=636$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Diviser 636 par 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Divisez \frac{5}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{8}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Additionner 159 et \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Factor n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Simplifier.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Soustraire \frac{5}{8} des deux côtés de l’équation.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$