Résoudre 6y^2-17y+5=0

$$6 y ^ { 2 } - 17 y + 5 = 0$$

Calculer y

$$y=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6y^{2}+ay+by+5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-17 ab=6\times 5=30$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

La solution est la paire qui donne la somme -17.

$$a=-15 b=-2$$

Réécrire 6y^{2}-17y+5 en tant qu’\left(6y^{2}-15y\right)+\left(-2y+5\right).

$$\left(6y^{2}-15y\right)+\left(-2y+5\right)$$

Factorisez 3y du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$3y\left(2y-5\right)-\left(2y-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2y-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2y-5\right)\left(3y-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2y-5=0 et 3y-1=0.

$$y=\frac{5}{2} y=\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6y^{2}-17y+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -17 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 5.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Additionner 289 et -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2\times 6}$$

L’inverse de -17 est 17.

$$y=\frac{17±13}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$y=\frac{17±13}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{17±13}{12} lorsque ± est positif. Additionner 17 et 13.

$$y=\frac{30}{12}$$

Réduire la fraction \frac{30}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$y=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{17±13}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à 17.

$$y=\frac{4}{12}$$

Réduire la fraction \frac{4}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y=\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{5}{2} y=\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}-17y+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$6y^{2}-17y+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$6y^{2}-17y=-5$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6y^{2}-17y}{6}=-\frac{5}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y=-\frac{5}{6}$$

Divisez -\frac{17}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{17}{12}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{17}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y+\left(-\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{6}+\left(-\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{17}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y+\frac{289}{144}=-\frac{5}{6}+\frac{289}{144}$$

Additionner -\frac{5}{6} et \frac{289}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{17}{6}y+\frac{289}{144}=\frac{169}{144}$$

Factor y^{2}-\frac{17}{6}y+\frac{289}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{17}{12}=\frac{13}{12} y-\frac{17}{12}=-\frac{13}{12}$$

Ajouter \frac{17}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{5}{2} y=\frac{1}{3}$$