Résoudre 6y^2+19y+10

$$6 y ^ { 2 } + 19 y + 10$$

Factoriser

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 6y^{2}+ay+by+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=19 ab=6\times 10=60$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La solution est la paire qui donne la somme 19.

$$a=4 b=15$$

Réécrire 6y^{2}+19y+10 en tant qu’\left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right).

$$\left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right)$$

Factorisez 2y du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2y\left(3y+2\right)+5\left(3y+2\right)$$

Factoriser le facteur commun 3y+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$6y^{2}+19y+10=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 19.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-24\times 10}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 6}$$

Additionner 361 et -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$y=\frac{-19±11}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-19±11}{12} lorsque ± est positif. Additionner -19 et 11.

$$y=-\frac{8}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-19±11}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -19.

$$y=-\frac{30}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{2}{3} par x_{1} et -\frac{5}{2} par x_{2}.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y+\frac{2}{3}\right)\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Additionner \frac{2}{3} et y en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Additionner \frac{5}{2} et y en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\times \frac{2y+5}{2}$$

Multiplier \frac{3y+2}{3} par \frac{2y+5}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{3\times 2}$$

Multiplier 3 par 2.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{6}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 6 dans 6 et 6.

$$6y^{2}+19y+10=\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

Évaluer

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$