Résoudre 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Calculer x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 6 pour a, -12 pour b et 3 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Résoudre l’équation x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

Pour que le produit soit ≥0, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) et x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) doivent être ≤0 ou les deux ≥0. Examinons le cas lorsque x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) et x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) sont tous les deux ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Examinons le cas lorsque x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) et x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) sont tous les deux ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$