Résoudre 6n^2+7n+2

$$6 n ^ { 2 } + 7 n + 2$$

Factoriser

$$\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 6n^{2}+an+bn+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=3 b=4$$

Réécrire 6n^{2}+7n+2 en tant qu’\left(6n^{2}+3n\right)+\left(4n+2\right).

$$\left(6n^{2}+3n\right)+\left(4n+2\right)$$

Factorisez 3n du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3n\left(2n+1\right)+2\left(2n+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2n+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$6n^{2}+7n+2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 7.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 2.

$$n=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Additionner 49 et -48.

$$n=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$n=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$n=\frac{-7±1}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-7±1}{12} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 1.

$$n=-\frac{6}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$n=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-7±1}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à -7.

$$n=-\frac{8}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$n=-\frac{2}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{1}{2} par x_{1} et -\frac{2}{3} par x_{2}.

$$6n^{2}+7n+2=6\left(n-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$6n^{2}+7n+2=6\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{2}{3}\right)$$

Additionner \frac{1}{2} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{2n+1}{2}\left(n+\frac{2}{3}\right)$$

Additionner \frac{2}{3} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{2n+1}{2}\times \frac{3n+2}{3}$$

Multiplier \frac{2n+1}{2} par \frac{3n+2}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$6n^{2}+7n+2=6\times \frac{\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)}{6}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 6 dans 6 et 6.

$$6n^{2}+7n+2=\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$

Évaluer

$$\left(2n+1\right)\left(3n+2\right)$$