Résoudre 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=-6 b=1$$

Réécrire 6x^{2}-5x-1 en tant qu’\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Factoriser 6x dans 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -5 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Additionner 25 et 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±7}{12} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Diviser 12 par 12.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±7}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{12} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Divisez -\frac{5}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{12}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Additionner \frac{1}{6} et \frac{25}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Ajouter \frac{5}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$