Résoudre 6x^2-15x+40=0

$$6 { x }^{ 2 } -15x+40=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25+2,259240285i$$

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25-2,259240285i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}-15x+40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -15 à b et 40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 6\times 40}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 6\times 40}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-24\times 40}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 40.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-960}}{2\times 6}$$

Additionner 225 et -960.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-735}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de -735.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±7\sqrt{15}i}{2\times 6}$$

L’inverse de -15 est 15.

$$x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{12} lorsque ± est positif. Additionner 15 et 7i\sqrt{15}.

$$x=\frac{15+7\sqrt{15}i}{12}$$

Diviser 15+7i\sqrt{15} par 12.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 7i\sqrt{15} à 15.

$$x=\frac{-7\sqrt{15}i+15}{12}$$

Diviser 15-7i\sqrt{15} par 12.

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4} x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-15x+40=0$$

Soustraire 40 des deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}-15x+40-40=-40$$

La soustraction de 40 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}-15x=-40$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}-15x}{6}=-\frac{40}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{6}\right)x=-\frac{40}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-15}{6} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{40}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{20}{3}$$

Divisez -\frac{5}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{20}{3}+\frac{25}{16}$$

Additionner -\frac{20}{3} et \frac{25}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{245}{48}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{245}{48}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{245}{48}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7\sqrt{15}i}{12} x-\frac{5}{4}=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}$$

Ajouter \frac{5}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4} x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$