Résoudre 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-3 b=10$$

Réécrire 6x^{2}+7x-5 en tant qu’\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Factorisez 3x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-1=0 et 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 7 à b et -5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Additionner 49 et 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±13}{12} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Réduire la fraction \frac{6}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±13}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

La soustraction de -5 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Soustraire -5 à 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Divisez \frac{7}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Additionner \frac{5}{6} et \frac{49}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Soustraire \frac{7}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$