Résoudre 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 6.

$$1,6 2,3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+6=7 2+3=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=2 b=3$$

Réécrire 6x^{2}+5x+1 en tant qu’\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Factoriser 2x dans 6x^{2}+2x.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Factoriser le facteur commun 3x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+1=0 et 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 5 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Additionner 25 et -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±1}{12} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±1}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Divisez \frac{5}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Additionner -\frac{1}{6} et \frac{25}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Soustraire \frac{5}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$