Résoudre 6x^2+13x+7=0

$$6 { x }^{ 2 } +13x+7=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1,166666667$$

$$x=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx+7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=13 ab=6\times 7=42$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

La solution est la paire qui donne la somme 13.

$$a=6 b=7$$

Réécrire 6x^{2}+13x+7 en tant qu’\left(6x^{2}+6x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(6x^{2}+6x\right)+\left(7x+7\right)$$

Factorisez 6x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$6x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x+1\right)\left(6x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x+1=0 et 6x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{6}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+13x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 13 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 6\times 7}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 6\times 7}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-24\times 7}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 7.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-168}}{2\times 6}$$

Additionner 169 et -168.

$$x=\frac{-13±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-13±1}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-13±1}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±1}{12} lorsque ± est positif. Additionner -13 et 1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Diviser -12 par 12.

$$x=-1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±1}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à -13.

$$x=-\frac{14}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{12} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{7}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-1 x=-\frac{7}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+13x+7=0$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}+13x+7-7=-7$$

La soustraction de 7 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}+13x=-7$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+13x}{6}=-\frac{7}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x=-\frac{7}{6}$$

Divisez \frac{13}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{13}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{13}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{7}{6}+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{13}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-\frac{7}{6}+\frac{169}{144}$$

Additionner -\frac{7}{6} et \frac{169}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{1}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{13}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{13}{12}=-\frac{1}{12}$$

Soustraire \frac{13}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=-1 x=-\frac{7}{6}$$