Résoudre 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=2 b=9$$

Réécrire 6x^{2}+11x+3 en tant qu’\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Factorisez 2x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+1=0 et 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 11 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Additionner 121 et -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±7}{12} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±7}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-3}{6} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Divisez \frac{11}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{11}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{11}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{11}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Additionner -\frac{1}{2} et \frac{121}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Soustraire \frac{11}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$