Résoudre 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Factoriser

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 52z^{2}+az+bz+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

La solution est la paire qui donne la somme -43.

$$a=-39 b=-4$$

Réécrire 52z^{2}-43z+3 en tant qu’\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Factorisez 13z du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4z-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Calculer le carré de -43.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplier -4 par 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Multiplier -208 par 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Additionner 1849 et -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Extraire la racine carrée de 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

L’inverse de -43 est 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Multiplier 2 par 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{43±35}{104} lorsque ± est positif. Additionner 43 et 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Réduire la fraction \frac{78}{104} au maximum en extrayant et en annulant 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{43±35}{104} lorsque ± est négatif. Soustraire 35 à 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Réduire la fraction \frac{8}{104} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{4} par x_{1} et \frac{1}{13} par x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Soustraire \frac{3}{4} de z en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Soustraire \frac{1}{13} de z en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Multiplier \frac{4z-3}{4} par \frac{13z-1}{13} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Multiplier 4 par 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 52 dans 52 et 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Évaluer

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$