Résoudre 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Soustraire 12 des deux côtés de l’équation.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

La soustraction de 12 de lui-même donne 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Soustraire 12 à 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 3 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 9 et -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -3 et i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Diviser -3+i\sqrt{19} par -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{19} à -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Diviser -3-i\sqrt{19} par -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Soustraire 5 à 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Diviser 3 par -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Diviser 7 par -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Additionner -7 et \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$