Résoudre 5y^2-9y-18

$$5 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

Factoriser

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 5y^{2}+ay+by-18. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=5\left(-18\right)=-90$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-15 b=6$$

Réécrire 5y^{2}-9y-18 en tant qu’\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right)$$

Factorisez 5y du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$5y\left(y-3\right)+6\left(y-3\right)$$

Factoriser le facteur commun y-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}-9y-18=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 5}$$

Additionner 81 et 360.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 5}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$y=\frac{9±21}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$y=\frac{9±21}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{9±21}{10} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 21.

$$y=\frac{30}{10}$$

Diviser 30 par 10.

$$y=3$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{9±21}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à 9.

$$y=-\frac{12}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 3 par x_{1} et -\frac{6}{5} par x_{2}.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y+\frac{6}{5}\right)$$

Additionner \frac{6}{5} et y en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\times \frac{5y+6}{5}$$

Annuler 5, le plus grand facteur commun dans 5 et 5.

$$5y^{2}-9y-18=\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Évaluer

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$