Résoudre 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

Calculer y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2,4$$

$$y=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5y^{2}+ay+by-36. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -3.

$$a=-15 b=12$$

Réécrire 5y^{2}-3y-36 en tant qu’\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

Factorisez 5y du premier et 12 dans le deuxième groupe.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

Factoriser le facteur commun y-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-3=0 et 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -3 à b et -36 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -3.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Additionner 9 et 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

L’inverse de -3 est 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{3±27}{10} lorsque ± est positif. Additionner 3 et 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

Diviser 30 par 10.

$$y=3$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{3±27}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 27 à 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=-\frac{12}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Ajouter 36 aux deux côtés de l’équation.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

La soustraction de -36 de lui-même donne 0.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

Soustraire -36 à 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

Divisez -\frac{3}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{10}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

Additionner \frac{36}{5} et \frac{9}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

Factor y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Ajouter \frac{3}{10} aux deux côtés de l’équation.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$