Résoudre 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Calculer x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 24 des deux côtés.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-24. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-15 b=8$$

Réécrire 5x^{2}-7x-24 en tant qu’\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Factorisez 5x du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-7x=24$$

Soustraire 24 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

La soustraction de 24 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -7 à b et -24 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Additionner 49 et 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±23}{10} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Diviser 30 par 10.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±23}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 23 à 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Divisez -\frac{7}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{10}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Additionner \frac{24}{5} et \frac{49}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Ajouter \frac{7}{10} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$