Résoudre 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -9.

$$1,-9 3,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-9=-8 3-3=0$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-9 b=1$$

Réécrire x^{2}-8x-9 en tant qu’\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Factoriser x dans x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Factoriser le facteur commun x-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-9=0 et x+1=0.

$$x=9 x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -40 à b et -45 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Additionner 1600 et 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

L’inverse de -40 est 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{40±50}{10} lorsque ± est positif. Additionner 40 et 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Diviser 90 par 10.

$$x=9$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{40±50}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 50 à 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Diviser -10 par 10.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=9 x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Ajouter 45 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

La soustraction de -45 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Soustraire -45 à 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Diviser -40 par 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Diviser 45 par 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Divisez -8, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -4. Ajouter ensuite le carré de -4 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Calculer le carré de -4.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Additionner 9 et 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Factor x^{2}-8x+16. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifier.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$x=9 x=-1$$