Résoudre 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -40 à b et 85 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Additionner 1600 et -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

L’inverse de -40 est 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{40±10i}{10} lorsque ± est positif. Additionner 40 et 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Diviser 40+10i par 10.

$$x=4+i$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{40±10i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 10i à 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Diviser 40-10i par 10.

$$x=4-i$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4+i x=4-i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Soustraire 85 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

La soustraction de 85 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Diviser -40 par 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Diviser -85 par 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Divisez -8, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -4. Ajouter ensuite le carré de -4 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Calculer le carré de -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Additionner -17 et 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Factor x^{2}-8x+16. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Simplifier.

$$x-4=i x-4=-i$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$x=4+i x=4-i$$