Résoudre 5x^2+x+2=0

$$5 x ^ { 2 } + x + 2 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{10}\approx -0,1+0,6244998i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{10}\approx -0,1-0,6244998i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+x+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 1 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\times 2}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-40}}{2\times 5}$$

Additionner 1 et -40.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-39}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -39.

$$x=\frac{-1±\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{39}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{39}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner -1 et i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{39}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{39} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{10}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{10}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+x+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+x=-2$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=-\frac{2}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Divisez \frac{1}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{10}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{1}{100}$$

Additionner -\frac{2}{5} et \frac{1}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{39}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{39}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{100}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{39}i}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{39}i}{10}$$

Soustraire \frac{1}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{10}$$