Résoudre 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 6 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Additionner 36 et -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner -6 et 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Diviser -6+2i\sqrt{41} par 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{41} à -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Diviser -6-2i\sqrt{41} par 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

La soustraction de 10 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Diviser -10 par 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Divisez \frac{6}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{5}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Additionner -2 et \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Soustraire \frac{3}{5} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$