Résoudre 5x^2+5x+5=0

$$5 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+5x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 5 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-100}}{2\times 5}$$

Additionner 25 et -100.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-75}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -75.

$$x=\frac{-5±5\sqrt{3}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-5±5\sqrt{3}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±5\sqrt{3}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 5i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+5\sqrt{3}i}{10}$$

Diviser -5+5i\sqrt{3} par 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±5\sqrt{3}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 5i\sqrt{3} à -5.

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i-5}{10}$$

Diviser -5-5i\sqrt{3} par 10.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+5x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+5x=-5$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{5}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Diviser 5 par 5.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{5}$$

Diviser -5 par 5.

$$x^{2}+x=-1$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Additionner -1 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$