Résoudre 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 3 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Additionner 9 et -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner -3 et i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{11} à -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Divisez \frac{3}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{10}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Additionner -\frac{1}{5} et \frac{9}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Soustraire \frac{3}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$