Résoudre 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Calculer x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx+4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 21.

$$a=1 b=20$$

Réécrire 5x^{2}+21x+4 en tant qu’\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Factorisez x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x+1=0 et x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 21 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Additionner 441 et -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-21±19}{10} lorsque ± est positif. Additionner -21 et 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-21±19}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Diviser -40 par 10.

$$x=-4$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Divisez \frac{21}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{21}{10}. Ajouter ensuite le carré de \frac{21}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{21}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Additionner -\frac{4}{5} et \frac{441}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Soustraire \frac{21}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$