Résoudre 5t^2-4t+9=0

$$5 t ^ { 2 } - 4 t + 9 = 0$$

Calculer t

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5}\approx 0,4+1,280624847i$$

$$t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}\approx 0,4-1,280624847i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5t^{2}-4t+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -4 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -4.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 9.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-180}}{2\times 5}$$

Additionner 16 et -180.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -164.

$$t=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 2i\sqrt{41}.

$$t=\frac{4+2\sqrt{41}i}{10}$$

Diviser 4+2i\sqrt{41} par 10.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{4±2\sqrt{41}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{41} à 4.

$$t=\frac{-2\sqrt{41}i+4}{10}$$

Diviser 4-2i\sqrt{41} par 10.

$$t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-4t+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$5t^{2}-4t+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$5t^{2}-4t=-9$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5t^{2}-4t}{5}=-\frac{9}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t=-\frac{9}{5}$$

Divisez -\frac{4}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}=-\frac{9}{5}+\frac{4}{25}$$

Additionner -\frac{9}{5} et \frac{4}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}=-\frac{41}{25}$$

Factor t^{2}-\frac{4}{5}t+\frac{4}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} t-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Ajouter \frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$t=\frac{2+\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-\sqrt{41}i+2}{5}$$