Résoudre 5n^2-8n-4

$$5 n ^ { 2 } - 8 n - 4$$

Factoriser

$$\left(n-2\right)\left(5n+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 5n^{2}+an+bn-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-10 b=2$$

Réécrire 5n^{2}-8n-4 en tant qu’\left(5n^{2}-10n\right)+\left(2n-4\right).

$$\left(5n^{2}-10n\right)+\left(2n-4\right)$$

Factorisez 5n du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$5n\left(n-2\right)+2\left(n-2\right)$$

Factoriser le facteur commun n-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-2\right)\left(5n+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$5n^{2}-8n-4=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -8.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -4.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Additionner 64 et 80.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 144.

$$n=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 5}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$n=\frac{8±12}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$n=\frac{8±12}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{8±12}{10} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 12.

$$n=\frac{20}{10}$$

Diviser 20 par 10.

$$n=2$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{8±12}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 12 à 8.

$$n=-\frac{4}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=-\frac{2}{5}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 2 par x_{1} et -\frac{2}{5} par x_{2}.

$$5n^{2}-8n-4=5\left(n-2\right)\left(n-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$5n^{2}-8n-4=5\left(n-2\right)\left(n+\frac{2}{5}\right)$$

Additionner \frac{2}{5} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$5n^{2}-8n-4=5\left(n-2\right)\times \frac{5n+2}{5}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 5 dans 5 et 5.

$$5n^{2}-8n-4=\left(n-2\right)\left(5n+2\right)$$

Évaluer

$$\left(n-2\right)\left(5n+2\right)$$